[IMATH] 헤론의 공식과 그 증명

안녕하세요, 오랜만입니다.

지난번에 대칭식과 교대식의 성질을 다루었었죠?

물론, 이해가 된 분도 있고 이해가 안된 분도 계시겠지만...

이번에는 그것보다는 확실히 쉬울 겁니다.

자, 그러면 시작하죠.

I. 헤론의 공식이란?

헤론의 공식이란, 삼각형의 세 변의 길이가 주어졌을 때 그 넓이를 구하는 식입니다.

이때의 공식을 먼저 알려드리겠습니다.

삼각형의 세 변의 길이를 각각 a, b, c라고 할 때, 그 삼각형의 넓이를 S라 하면

참고로 l(소문자 L입니다)은 삼각형의 둘레를 뜻합니다.

이 공식을 쓰면 좋은 점이 무엇인지 설명하죠.

예를 들어, 삼각형의 세 변의 길이가 3, 4, 5일때 그 넓이는 6입니다.

이걸 헤론의 공식을 쓰지 않고 구하려면,

a=4, b=3, c=5인 삼각형을 그리고 한 점에서 그 대변에 수선을 그은 다음,

Y=5-X라는 점을 이용해서 피타고라스 정리^[각주:1]를 이용하면

따라서 넓이는 

입니다.

반면, 헤론의 공식을 이용하면

로 빠르게 구할 수 있습니다.

이를 사각형에 적용시킨 것으로는 브라마굽타 정리가 있습니다만, 그것까지 다루진 않겠습니다.

II. 피타고라스 정리를 이용한 증명

헤론의 공식을 증명하는 방법에는 4가지가 있는데, 첫번째로 위에서도 쓴 피타고라스 정리를 이용한 것입니다.

음, 여기까진 쉽죠?

그 다음도 복잡해 보이지만 사실 간단합니다.

곱셈공식를 이용한 부분이 꽤나 많습니다.

여기까지는 h^2을 구한 거고요, 이제 h를 구하죠.

단순히 제곱근을 씌우면 되죠.

이제, 넓이 S를 구해 보면,

가 됩니다. 증명 완료!

III. 삼각함수를 이용한 증명

다음으로는 고교 교육과정에 있는 삼각함수를 이용하여 증명해 볼 겁니다.

이거 두개를 기본적으로 알아야 하는데, 

첫번째는 삼각함수의 정의로부터 유도할 수 있으며, 두번째는 코사인공식입니다.

증명은 생략하겠습니다.

위의 두 공식에 의해

가 됩니다. 

피타고라스 정리를 이용한 증명에서 했던 것과 같이 분자를 정리하면

이제 넓이 S를 구해 보면

증명 완료입니다.

IV. 닮음을 이용한 증명

위의 두 방법이 대수적 증명에 가까웠다면, 나머지 두 방법은 기하학적 증명에 가깝습니다.

우선, 그림을 먼저 설명해 드리죠.

점 I는 삼각형 ABC의 내심입니다.

또한 CH는 AF와 길이가 같고 직선 AC 위에 있는 선분입니다.

점 K는 각 BIK와 BCK가 각각 90도가 되도록 잡았습니다.

선분 ID, IE, IF는 내심에서 삼각형의 세 변에 내린 수선입니다.

점 L은 IK와 DC의 교점입니다.

다음으로 증명을 시작하죠.

내심의 성질에 의해 

또한 에서 사각형 BICK는 원에 내접합니다.

그러므로 

따라서 

또한(맞꼭지각)이므로

이를 이용하면

맨 마지막 수식을 변형하겠습니다.

이때 직각삼각형 BIL에서 사영정리^[각주:2]에 의해이므로

이때

로 치환하고

내접원의 반지름의 길이가 r, 삼각형의 세 점 A, B, C의 대응변의 길이를 각각 a, b, c라고 하면

와 같아집니다.

이제 삼각형의 넓이 S를 구하면

가 되므로 증명 완료!

V. 방접원을 이용한 증명

먼저 그림을 설명하자면,

점 I는 삼각형 ABC의 내심, I'은 방심입니다.

점 X, Y,Z는 내접원과 각 변의 접점입니다.

점 Y'은 반직선 AC와 방접원의 접점입니다.

점 Z'은 선분 BC와 방접원의 접점입니다.

방접원에 대해서는 삼각형의 오심을 다룰 때 자세히 알아보기로 하고, 그 성질만 말해드리겠습니다.

선분 BC와 선분 YY'의 길이는 같습니다.

또한 방접원의 중심, 즉 방심은 각 ABC의 이등분선 위에 있습니다.

또한 BY'의 길이는 삼각형의 둘레의 길이의 절반, 즉 s와 같습니다.

AX와 CY'의 길이는 같습니다.

증명을 시작하죠.

는 공통, 

또한 

삼각형의 내심과 방심의 성질에 의해

(참고로 이 방법과 위의 닮음을 이용한 증명법의 그림에서 점 D와 Y, H와 Y'이 같은 겁니다. 위의 증명 참고하세요)

따라서

이제 넓이를 구하면

따라서 증명 완료!

다음에는 삼각형의 오심을 다루겠습니다.

1. 직각삼각형에서 빗변의 길이의 제곱은 나머지 두 변의 길이의 제곱의 합과 같다. 즉, c를 빗변으로 하는 직각삼각형 ABC에서 a^2+b^2=c^2이 성립한다. [본문으로]
2. 직각삼각형의 직각인 점에서 그 대변에 수선을 내렸을 때 생기는 3개의 삼각형의 길이의 비를 정리한 것 [본문으로]