[IMATH] 대칭식과 교대식의 인수분해

안녕하세요, 이리듐입니다.

지난 글 중 대칭식과 교대식의 성질을 다룬 글들이 있을 겁니다.

오늘은 그 두 식들의 성질을 이용하여 인수분해를 해볼 겁니다.

만약 대칭식과 교대식 글을 보지 않으셨다면 그것부터 봐 주세요.

(대칭식 링크)

(교대식 링크)

I. 대칭식의 인수분해

대칭식은 그 차수에 따라 크게 두 개로 나눌 수 있습니다.

모든 항의 차수가 같으면 동차 대칭식, 다른게 하나라도 있으면 비동차 대칭식입니다.

이 둘은 인수분해 방법이 약간씩 다릅니다. 

먼저 동차 대칭식부터 해 보겠습니다.

*인수분해할 수 없는 대칭식도 있습니다.*

1. 동차 대칭식의 인수분해

Ex) 를 인수분해하여라.

(1)주어진 식이 대칭식인지부터 확인한다.

대충 a와 b 바꿔 넣어보면 대칭식이네요. 

여러번 하다보면 형태만 보고도 대칭식인지를 알 수 있습니다.

(2)동차 대칭식인지 비동차 대칭식인지를 구분한다.

모든 항의 차수가 3이므로 3변수 3차 동차대칭식입니다.

(3)기본대칭식으로 표현한다.

주어진 식을 f(a,b,c)라고 한다면

가 되겠네요. 이때 p, q, r은 미정계수입니다.

참고로, 이 식은 항등식입니다.

3변수 기본대칭식은 a+b+c, ab+bc+ca, abc인데 왜 저렇게 나오냐 하면,

3차 동차 대칭식이므로 모든 항의 차수를 3으로 맞추기 위해서입니다.

2차면로 표현해야 하고,

4차면 로 표현해야 합니다. 감이 오시나요?

(4)적절한 수를 대입해서 미정계수를 구한다.

이번 경우에는 미정계수가 3개이므로 3번 대입하면 되겠네요.

항등식 푸는거랑 비슷하다고 느끼셨다면, 맞습니다. 저 식 자체가 항등식이거든요.

수치대입법으로 풀어주시면 됩니다.

따라서 주어진 식은

가 되겠네요.

(5)마지막에 나온 식을 인수분해한다.

따라서 입니다.

사실 인수분해 공식을 알고 쓰면 바로 할 수 있지만, 저 공식을 모르면 유도하기 난감한 식이죠.

2. 비동차 대칭식의 인수분해

비동차 대칭식은 조금 더 까다롭습니다.

Ex)를 인수분해하여라.

(1)주어진 식이 대칭식인지부터 확인한다.

a와 b 바꿔 넣어보면 대칭식입니다.

(2)동차 대칭식인지 비동차 대칭식인지를 구분한다.

3차항과 1차항이 섞여 있으므로 3변수 비동차대칭식입니다.

(3)기본대칭식으로 표현한다.

주어진 식을 f(a,b,c)라고 하면

동차 대칭식과 달라진게 있다면, 

3변수 3차 동차대칭식은 3변수 3차 기본대칭식의 형태로 표현을 했지만,

여기서는 3변수 3차 기본대칭식+3변수 2차 기본대칭식+3변수 1차 기본대칭식의 형태로 표현했습니다.

항들의 차수가 다르니까요.

(4)적절한 수를 대입해서 미정계수를 구한다.

6번 대입해서 일차방정식 6개를 구한다음, 연립해주면 되겠습니다!

물론 대부분은 0이 나올 겁니다.

아무튼 구하는 과정은 생략하고 답만 알려드리자면, q=1, u=1이고 나머지는 모두 0이 나올겁니다.

따라서 가 되겠습니다.

(5)마지막에 나온 식을 인수분해한다.

.

따라서 로 인수분해됩니다.

3. 인수정리를 이용하는 방법

사실 너무나도 당연한 거라 말을 하지 않은 게 있었는데,

대칭식 f(a,b,c)가 (a+b)꼴의 인수를 가지면 이것의 순서를 바꾼 식, 즉 (b+c), (c+a)도 인수로 가집니다.

이를 이용하면 위의 두 방법으로 인수분해할 수 없는 대칭식도 인수분해할 수 있습니다.

Ex)를 인수분해하여라.

위에서 사용한 방법을 쓰면, 가 나오죠.

이건 더 이상 인수분해할 수 없지 않나요? 그렇다고 저건 인수분해된 형태도 아니고 말이죠.

하지만, 지금 소개하는 방법을 이용해서 인수분해할 수 있습니다.

주어진 식을 f(a,b,c)라고 놓고 a=-b를 대입해 보면

이 됩니다.

인수정리에 의해 f(a,b,c)는 (a+b)를 인수로 가지게 되고, 

대칭식의 성질에 따라 (b+c),(c+a) 또한 인수로 갖습니다.

이제 로 두고 k값을 구하면, k=1이 나옵니다.

따라서, 임을 알 수 있습니다.

k인 이유는 양변이 3차 동차대칭식이기 때문입니다. 

만약 4차 동차대칭식이라면 k 대신 k(a+b+c)를 사용하면 되며,

5차 동차대칭식이라면 k 대신 {p(a+b+c)^2+q(ab+bc+ca)}를 사용하면 됩니다.

참고로, a=b+c를 대입해야 0이 나오는 경우도 있는 등, 여러 가지를 시도해 보시길 바랍니다.

4. 정리

대칭식을 인수분해하는 방법을 여러 가지 알려드렸는데요, 

아마 좀 복잡하다고 느낄 수도 있을 것 같아 정리하겠습니다.

1. 동차식인지 비동차식인지 확인한 후, 대칭식의 성질을 이용해 기본대칭식으로 표현한다.

2. 기본대칭식으로 표현한 식을 인수분해할 수 있으면 인수분해한다.

3. 만약 인수분해할 수 없는 경우, 인수정리를 이용하여 인수 하나를 찾는다.

4. 대칭식의 성질을 이용해 나머지 인수를 찾은 후, 항등식의 성질을 이용해 식을 구한다.

II. 교대식의 인수분해

이번에는 교대식의 인수분해를 해 봅시다.

교대식은 대칭식과 다르게, 항상 인수분해할 수 있습니다.

교대식도 동차와 비동차로 나뉩니다.

1. 동차 교대식

Ex) 를 인수분해하여라.

(1)주어진 식이 교대식인지부터 확인한다.

x랑 y 바꿔보면 교대식 맞습니다.

(2)주어진 식이 동차 교대식인지 비동차 교대식인지 확인한다.

모든 항이 5차인 동차 교대식입니다.

(3)교대식의 성질을 이용해 항등식을 세운다.

저 식을 f(x,y,z)라 하면 f(x,y,z)는 (x-y)(y-z)(z-x)를 인수로 가지므로

이라 할 수 있습니다.

앞에 대칭식의 꼴이 있는 것은, 교대식=교대식*대칭식에서 나오는 겁니다.

(4)수치대입법을 이용하여 항등식을 푼다.

풀어보면 p=5, q=-15가 나옵니다.

(5)식을 정리한다.

가 됩니다.

2. 비동차 교대식

비동차 교대식은 무조건 동차 교대식*비동차 대칭식의 형태로 이루어집니다.

따라서 위의 (3)단계에서 세우는 대칭식을 비동차 대칭식의 형태로 놓으면 됩니다.

물론 좌우변 차수는 맞춰주고요.

5차가 최대인 비동차 교대식 f(x,y,z)는 (2차가 최대인 비동차 대칭식)*(x-y)(y-z)(z-x)로 놓고 풀면 됩니다.

이해가 안되신다면, 댓글 남겨주세요. 설명 덧붙이겠습니다.

III. 연습문제

이제까지 대칭식과 교대식의 인수분해 방법에 대해 배웠는데요, 인수분해 연습문제를 드리겠습니다.

풀어보고 싶으신 분은 인수분해해 보시면 됩니다.

기본적으로 대칭식이거나 교대식이긴 한데, 다른 테크닉 쓰면 더 쉬워지는것도 더러 있긴 하지만...

그럼, 이만!