[IMATH] 대칭식의 성질 및 그 증명

이번 글은 지난 글인 교대식의 성질에 대해 알고 오신 것을 전제로 서술되었습니다.

혹시 읽지 못하셨다면, 지난 글부터 읽어보시길 바랍니다.

안녕하세요, 이리듐입니다.

지난 글에서는 교대식의 성질을 알아보았는데요, 이번 글에서는 대칭식의 성질을 알아봅시다.

I. 대칭식이란?

대칭식이란, 여러 문자로 이루어진 다항식들 중에서

임의의 두 문자를 바꾸었을 때 원식과 같아지는 식을 의미합니다. 

이를 수식으로 표현하자면, 이죠.

이때 주의해야 할 점은, '임의의' 두 문자라는 점입니다.

즉 두 문자를 바꾸는 모든 경우의 수에 성립해야 그 식은 대칭식이라는 것이죠.

예를 들어, 라는 식은 

x,y를 바꾸었을때는 원식과 같으나, x와 z를 바꾸면 원식과 같지 않으므로

대칭식이 아닙니다.

어떤 식이 대칭식인지 아닌지는 간단한 경우에는 눈으로도 확인이 가능할 것입니다.

II. 대칭식의 사칙연산

자, 그렇다면, 대칭식과 대칭식을 더하거나, 곱한 것은 어떻게 될까요?

결론부터 말씀드리자면,

(대칭식) + (대칭식) = (대칭식)

(대칭식) * (대칭식) = (대칭식)

(뺄셈과 나눗셈은 각각 덧셈과 곱셈으로 표현 가능하므로 생략)

 덧셈과 곱셈의 경우를 각각 증명해 보겠습니다.

우선 덧셈의 경우부터 증명해 보죠.

어떤 대칭식 f(x,y)와 g(x,y)에 대해서, h(x,y)=f(x,y)+g(x,y)라고 합시다.

x와 y를 바꾸면 h(y,x)=f(y,x)+g(y,x)=f(x,y)+g(x,y)=h(x,y)이죠.

h(x,y)=h(y,x)이므로 h(x,y)는 대칭식입니다.

변수가 2개보다 많을 때도 같은 방법으로 증명이 가능합니다.

다음으로 곱셈의 경우입니다.

어떤 대칭식 f(x,y)와 g(x,y)에 대해서 h(x,y)=f(x,y)*g(x,y)라고 합시다.

x와 y를 바꾸면 h(y,x)=f(y,x)*g(y,x)=f(x,y)*g(x,y)=h(x,y)이죠.

h(x,y)=h(y,x)이므로 h(x,y)는 대칭식입니다.

변수가 2개보다 많을 때에도 같은 방법으로 증명이 가능합니다.

여기서, 지난번에 말했던 '대칭식은 양수, 교대식은 음수'라고 생각하고 이해하시면 편할 것 같습니다.

III. 대칭식과 교대식 간의 사칙연산

자, 그러면 대칭식과 교대식 간의 사칙연산은 어떻게 될까요?

역시 결론부터 말씀드리자면,

(대칭식) * (교대식) = (교대식)

(덧셈과 뺄셈의 경우에는 일반적인 다항식이 나오고, 나눗셈은 곱셈으로 표현 가능하므로 생략)

입니다.

증명하자면,

어떤 대칭식 f(x,y)와 교대식 g(x,y)에 대해, h(x,y)=f(x,y)*g(x,y)라고 합시다.

x와 y를 바꾸면 h(y,x)=f(y,x)*g(y,x)=f(x,y)*{-g(x,y)}=-{f(x,y)*g(x,y)}=-h(x,y)

h(x,y)=-h(y,x)이므로 h(x,y)는 교대식입니다.

따라서, 대칭식과 교대식의 곱은 교대식이라는 것을 알 수 있습니다.

참고로, 대칭식과 교대식의 곱은 교대식이라는 것은 교대식의 인수분해에서 유용하게 사용됩니다.

IV. 대칭식의 성질

먼저 말해 두자면, 대칭식은 이 성질을 이용해도 바로 인수분해가 되지 않습니다.

다만 복잡한 것을 간단하게 하는 것은 가능하지만, 그것조차 힘든 경우도 있고...

참고용으로 알아 두시기 바랍니다. 다만 교대식의 인수분해에서는 유용하게 쓰입니다.

대칭식은 '모든 대칭식은 기본대칭식으로 표현이 가능하다' 라는 성질이 있습니다.

이때 기본대칭식이란, 대칭식 중 가장 간단한 형태를 말합니다.

n변수 k차 기본대칭식은 'n개의 변수 중 k개의 곱의 합'으로 만들 수 있습니다.

예를 들어서, 2변수 기본대칭식은 2개의 변수 중 1개의 곱의 합인 a+b와 2개의 곱의 합인 ab가 있습니다.

3변수의 경우는 a+b+c, ab+bc+ca, abc.

4변수의 경우에는 a+b+c+d, ab+ac+ad+bc+bd+cd, abc+abd+acd+bcd, abcd.

이해가 되려나요?

이 성질은 증명하기 좀 까다로운데, 이해가 힘들 수도 있긴 합니다.

우선, 'n변수 대칭식은 기본대칭식으로 표현이 가능하다' 라는 명제를

 수학적 귀납법^[각주:1]을 통해 증명하기 위해서,

(i)n=2일 때를 증명하고, (ii)n=k일때 성립한다면 n=k+1일 때도 성립한다는 것을 보이겠습니다.

(i) n=2일 때

설명하기에 앞서, 두 개의 변수 x,y로 나타낼 수 있는 단항식의 일반형은 

(k, a, b는 모두 상수) 꼴이라는 것을 이해해야 합니다.

다항식은 단항식의 합의 꼴로 나타낼 수 있으므로,

모든 x,y에 관한 다항식은 의 합의 꼴로 나타낼 수 있습니다.

이때 만약 어떤 대칭식 f(x,y)에 가 존재한다면, 대칭식의 정의에 의해 또한 존재해야 합니다.^[각주:2]

즉 f(x,y)는 꼴의 식의 합으로 표현이 가능합니다.

그러므로 2변수 대칭식의 성질을 증명하기 위해서는 

가 기본대칭식으로 표현이 가능하다는 것을 보이면 되겠습니다.

우선, 입니다.

이때 덧셈에서는 교환법칙이 성립하므로 라고 해도 일반성을 잃지 않습니다.^[각주:3]

따라서 라고 할 수 있습니다.

이때 k는 상수이고 , (xy)^b는 기본대칭식으로 표현이 가능하므로,

꼴의 식이 기본대칭식으로 표현이 가능하다는 것을 보이면 되겠습니다.

이 또한 수학적 귀납법으로 증명을 할 것인데, 일반적인 수학적 귀납법으로는 증명하기 어려우므로

(1) p=1,2일때 성립한다.

(2) p=k, k+1일 때 성립한다고 가정하면 p=k+2일 때 성립한다.

는 것을 보여 증명하겠습니다.

(이렇게 놓고 풀어도 모든 자연수 n에 대해 증명이 가능합니다^[각주:4])

(1)의 증명

p=1일 때 이므로 기본대칭식으로 표현이 가능합니다.

p=2일 때 이므로 기본대칭식으로 표현이 가능합니다.

(2)의 증명

이것을 증명하기 위해서 비에트의 정리^[각주:5]를 이용해 점화식^[각주:6]을 유도해 보겠습니다.

x,y를 근으로 가지는 t에 대한 이차방정식은 비에트의 정리에 의해서 입니다.

이때 t=x, t=y를 대입한 다음 각각 양변에 x^n, y^n을 곱하면

 라는 두 식이 나옵니다.

두 식을 변변 더한 다음

이항하면

라는 점화식을 얻을 수 있습니다.

이제, p=k, p=k+1일 때 기본대칭식으로 표현할 수 있다고 가정한다면

p=k+2일 때 또한 위의 점화식에 의해서 기본대칭식으로 표현이 가능합니다.

따라서 꼴의 식은 기본대칭식으로 표현이 가능합니다.

그러므로 모든 2변수 대칭식은 기본대칭식으로 표현이 가능하다는 것을 알 수 있습니다.

(ii) n=k일 때 성립한다면 n=k+1일 때도 성립한다.

(i)의 증명과정을 통해

n변수 대칭식 는 과 그 지수를 바꾼 항들의 합으로 표현이 가능합니다.

이때 항의 개수는 n!^[각주:7]개인 것을 알 수 있습니다.

이때 이라고 해도 일반성을 잃지 않으므로

이라고 나타낼 수 있고,

이때 은 (n-1)변수 대칭식 n개의 합입니다. 

여기서 은 기본대칭식으로 표현이 가능하므로

이 기본대칭식으로 표현이 가능하면 

또한 기본대칭식으로 표현이 가능합니다.

그런데 은 (n-1)변수 대칭식 n개의 합입니다. 

따라서 n-1변수 대칭식이 기본대칭식으로 표현이 가능하면, 

n변수 대칭식 또한 기본대칭식으로 표현이 가능하게 됩니다.

이를 통해 n=k일 때 성립한다면 n=k+1일 때도 성립한다는 것을 알 수 있습니다.

추가적으로, 은 (n-1)변수 대칭식 n개의 합이라는 것을 설명하겠습니다.

n변수 대칭식 에서 꼴의 항의 지수를 순서쌍으로 나타내면

입니다. 이때 이 순서쌍을 다시 an의 위치에 따라

an이 n번째 자리에 있을 때, an이 n-1번째 자리에 있을 때 ... an이 1번째 자리에 있을 때로 나누면

로 배열할 수 있습니다.

이때 묶음(대괄호)은 n개이고, 각각의 대괄호에 있는 순서쌍은 (n-1)!개로,

총 순서쌍의 개수는 n*(n-1)!=n!개 라는 것을 확인할 수 있습니다. 

이때 이라고 하고 의 지수를 순서쌍으로 나타내면

의 모든 항의 모든 지수에서 an을 뺀 것과 같으므로

 이 되죠. 

첫번째 순서쌍 묶음을 식으로 바꾸면 xn의 지수가 모두 0인 묶음이므로

 꼴에서 지수를 바꾼 (n-1)!개의 항의 합, 즉 (n-1)변수 대칭식이 될 것입니다.

같은 방법으로 각각의 대괄호는 (n-1)변수 대칭식이 되죠. 

이때, 대괄호가 n개 있으므로 결국 은 (n-1)변수 대칭식 n개의 합입니다.

이해가 되든 안되든 그렇다고 받아들이고 원래대로 돌아옵시다.

따라서, (i)과 (ii)를 통해, 모든 n차 대칭식은 기본대칭식으로 표현이 가능하다는 것을 증명할 수 있습니다.

증명과정이 복잡하지만, 최대한 간단하게 설명하려고 노력한 것이라는 점을 알아 주시면 좋겠으며,

꼭 이해를 하고 싶은데 막히는 부분이 있다면, 댓글로 물어봐 주시면 1대1로 설명해 드리겠습니다.

 

1. 어떤 명제 p(n)이 다음 (1), (2)의 조건을 동시에 만족할 때, 모든 자연수 n에 대해서 성립한다는 것을 증명하는 방법이다. (1) n=1일때 성립한다. (2) n=k일때 성립한다고 가정하면 n=k+1일때도 성립한다. [본문으로]
2. 그래야 x,y를 바꾸었을 때 원래의 식과 같아지기 때문. [본문으로]
3. 만약 b>a인 식이 나온다면, x^b*y^a+x^a*y^b로 놓고 증명할 수 있으므로 a>=b라고 가정해도 증명에 오류가 생기지 않는다는 것입니다. [본문으로]
4. p=1,2일때 성립하면 p=3이 성립하고, p=2, 3이 성립하면 p=4가 성립하는 식으로 해 나가다 보면 어떠한 자연수 n이 와도 p=n-1, n이 성립하므로 p=n+1일 때 또한 성립하기 때문 [본문으로]
5. n차 방정식에서의 근과 계수와의 관계를 정리한 것. [본문으로]
6. 어떠한 수열 {an}을 (1) n=1일 때의 값 (2) n=k와 n=k+1일 때의 관계식 을 통해서 나타낼 수 있는데, 이를 수열의 귀납적 정의라고 합니다. 이때 (2)에서의 관계식을 점화식이라고 합니다. [본문으로]
7. n!은 팩토리얼, 또는 계승이라고 하며 n개의 자리를 배치하는 경우의 수를 나타냅니다. n!= n*(n-1)*...*2*1로 계산할 수 있습니다. 즉, n!은 1부터 n까지의 곱입니다. [본문으로]