[IMATH] 교대식의 성질 및 그 증명

 안녕하세요, 이리듐입니다.

이번 글에서는 교대식에 대해서 다루어 보겠습니다.

I. 교대식이란?

교대식이란, 여러 문자로 이루어진 다항식 중에서,

임의의 문자를 바꾸었을 때, 원식과 절댓값이 같고 부호가 달라지는 식을 이야기합니다.

식으로 표현하자면 가 되겠네요.

여기서 주의할 점은 '임의의' 문자를 바꾼다는 표현입니다.

이 말은 즉슨, 두 변수를 바꾸는 모든 경우에 대해 성립해야 한다는 겁니다.

예를 들어, 를 만족하는 다항식은 교대식이 아닙니다.

x와 y를 바꾸었을 때는 원식과 절댓값이 같고 부호가 다르지만, x와 z를 바꾸었을 경우는 아니기 때문이죠.

즉, 저 경우에서는 x와 y, y와 z, z와 x를 바꾼 경우에 모두 성립해야 교대식이라고 할 수 있습니다.

다만, 그렇게 복잡하지 않은 식의 경우는 눈으로 형태만 보면 교대식인지 파악하기 쉬울 겁니다.

같은 경우, 눈으로만 봐도 알 수 있습니다.

II. 교대식의 사칙연산

자, 그러면, 교대식끼리 더하거나, 빼거나, 곱하거나, 나누는 등의 사칙연산을 하면 어떻게 될까요?

우선 결과부터 말씀드리자면,

(교대식) + (교대식) = (교대식)

(교대식) * (교대식) = (대칭식)

(뺄셈과 나눗셈은 덧셈과 곱셈으로 표현 가능하므로 생략)

입니다. 그 이유는 덧셈과 곱셈의 경우를 각각 증명하면서 설명하도록 하겠습니다.

참고로 대칭식이란, 임의의 두 문자를 바꾸어도 원식과 같아지는 식을 이야기합니다.

즉, f(x,y)=f(y,x)를 만족하는 식입니다.

물론 임의의 두 문자를 바꾼다는 표현을 썼으므로, 모든 문자를 바꾸었을 때 성립해야 합니다.

우선 덧셈의 경우입니다.

어떤 교대식 f(x,y)와 g(x,y)가 있다고 하고, h(x,y)=f(x,y)+g(x,y) 라고 합시다.

x와 y를 바꾸면 h(y,x)=f(y,x)+g(y,x)=-f(x,y)-g(x,y)=-{f(x,y)+g(x,y)}=-h(x,y)가 되죠.

따라서 h(y,x)=-h(x,y)이므로 h(x,y)는 교대식입니다.

이 증명은 변수의 개수가 2개보다 많은 경우도 성립합니다.

다음으로, 곱셈의 경우입니다.

어떤 교대식 f(x,y)와 g(x,y)가 있다고 하고, h(x,y)=f(x,y)*g(x,y)라고 합시다.

x와 y를 바꾸면 h(y,x)=f(y,x)*g(y,x)={-f(x,y)}*{-g(x,y)}=f(x,y)*g(x,y)=h(x,y)가 됩니다.

따라서 h(y,x)=h(x,y)이므로 h(x,y)는 대칭식입니다.

이 증명은 변수의 개수가 2개보다 많은 경우도 성립합니다.

그나저나 이 경우, 음수의 사칙연산의 경우와 비슷하지 않나요?

음수+음수=음수, 음수*음수=양수 이죠.

그 이유는, 교대식은 두 문자를 바꾸었을 때 식 앞에 -가 붙어서 나오기 때문입니다.

어쨌든, 대칭식은 양수, 교대식은 음수라고 생각하고 알아 두시면 외우기 편할 것 같습니다.

(음수-음수=양수가 될 수도 있지만, 교대식에서는 서로 빼도 항상 교대식인것만 주의하세요)

III. 교대식의 성질

먼저 말해 두자면, 교대식은 인수분해가 쉽습니다.

이 성질을 이용하면 내림차순 정리하고 어쩌고 하는것보다 훨씬 빠르거든요.

그러면, 어떤 성질인지 알아보겠습니다.

'n변수 ^[각주:1]차 교대식은 두 문자의 차의 꼴의 인수 ^[각주:2]개를 항상 가진다'

라는 성질입니다. 뭔지 감이 잘 안오신다고요?

우선, 예시를 들어서 설명하죠.

n=2를 대입하면, '2변수이고  1차 이상의 교대식은 두 문자의 차의 꼴의 인수 1개를 항상 가진다'.

즉, 2변수 교대식 f(x,y)는 (x-y)라는 인수를 항상 가진다는 것입니다.

이것의 증명은 간단합니다. 

f(x,y)=-f(y,x)는 교대식의 정의에 의해서 항등식입니다.

그러므로 x=y를 대입하면 f(y,y)=-f(y,y)인데, 이 등식이 성립하려면 f(y,y)=0이어야 합니다.

절댓값이 같은데 부호가 달라도 식이 같은 경우는 0인 경우밖에 없으니까요.

따라서, 인수정리^[각주:3]에 의해서 f(x,y)는 (x-y)를 인수로 가진다는 것을 알 수 있습니다.

즉, x=y를 대입했는데 함숫값이 0이 나오니까, f(x,y)는 (x-y)를 인수로 가지는 것이죠.

그렇다면, n변수의 경우를 증명해 보겠습니다. 

차 교대식 가 있다고 합시다.

은 교대식의 정의에 의해서 항등식입니다. 

그러므로 을 대입해도 성립하죠. 대입하면 

따라서 은 을 인수로 갖습니다. 

비슷한 방법을 번 반복하면 

는

의 인수를 갖는다는 것을 알 수 있습니다. 

따라서 는 개의 인수를 갖습니다.  

 개인 이유는 n개의 변수 중 2개의 변수를 중복 없이 뽑아 차를 만드는 경우의 수이기 때문입니다.

사실, ^[각주:4]인데, 저 증명법에서는 개로 생각하는 것이 이해하기 편할 듯 하긴 하네요.  

n-1개+n-2개++1개의 인수를 가지니까요.

뭐 어쨌든, 증명 완료입니다.

IV. 교대식의 인수분해

3번째 문단에서 교대식은 인수분해가 쉽다고 했는데, 한번 해 보죠.

를 인수분해 해 봅시다.

우선, 이 식은 3변수 3차 교대식이라는 것을 알 수 있습니다.

그러면 교대식의 성질에 의해서 

로 둘 수 있습니다.

이는 문자 x,y,z에 관한 항등식이므로 x,y,z에 어떤 문자를 넣어도 성립합니다.

x=1, y=0, z=-1을 대입하면 2=-2k 이므로 k=-1입니다. (물론 계수비교법으로 풀어도 됩니다)

따라서  입니다.

다른 방법과 비교했을 때 얼마나 간단한지 비교하기 위해서, 다른 방법으로도 해 봅시다.

 물론 내림차순으로 해도 결과는 같긴 하지만, 식들 다 전개하고 내림차순으로 바꾸고 하려면...복잡하잖아요.

 그러니까, 교대식의 경우에는 교대식의 성질을 이용한 것이 더 편할 겁니다.

물론 개인차는 있겠으니, 본인이 더 편한 방법 쓰시면 될 것 같아요.

3변수 3차 교대식은 n변수 차 교대식이어서 교대식의 성질만으로 인수분해할 수 있었는데요,

n변수  차 교대식은 교대식의 성질 말고도, 대칭식의 성질을 이용해야 하므로

다음 시간에 다뤄보겠습니다.

이해가 안되는 부분이 있다면, 댓글로 적어 주시기 바랍니다.

인수정리, 조합, 시그마 등은 모르는 분을 위해서 각주로 정리해 놓았으니, 확인해 보시는 것도 좋을 듯 합니다.

1. nC2란, n개 중 2개를 뽑는 경우의 수를 의미하며, n(n-1)/2로 계산합니다. [본문으로]
2. nC2란, n개 중 2개를 뽑는 경우의 수를 의미하며, n(n-1)/2로 계산합니다. [본문으로]
3. '어떤 식 f(x)에 x=a를 대입했을 때, f(a)=0이라면 f(x)는 (x-a)를 인수로 가진다.' [본문으로]
4. 저기서 사용한 기호는 수열의 합을 나타내는 기호인 시그마이고, 저 식의 뜻은 1부터 n-1까지의 합(즉 1+2+...+n-1)의 값이 n(n-1)/2로 nC2의 값과 같다는 뜻입니다. [본문으로]